上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
最近卒論ばかりで、数学のことがおろそかになりがち。
ってことで、1学期にやったゼミ発表を復習。

最初の課題は「半正定値かつ対称な行列の集合は閉凸錐であることを示せ」

ここから証明。
半正定値行列かつ対称な行列の集合をCとする。
半正定値行列とは、任意のn次元ベクトルとの二次形式が非負である行列のこと。
仮定より、C={ A | AT = A (∵対称性), ∀ x ∈ Rn , xTAx ≧0(∵半正定値)}
閉凸錐であるためには閉集合かつ凸集合かつ錐であることを示せば良い。

集合Fが凸集合であるという定義は、 x1 , x2 ∈ F , λ∈( 0 , 1 ) ⇒ λx1 + ( 1 - λ) x2 ∈F
また集合K⊆ Rnが∀x∈K , ∀λ>0に関してλx∈Kであるとき、Kを錐とよぶ。

ここから凸錐であるための必要十分条件を導くことができて、
凸錐である⇔ { S | x , y ∈S , α,β>0, αx + βy ∈S }
これを使って証明を。

proof.
I 凸錐である証明
(i) 対称性
P , Q ∈ C , α , β>0とすると、
(αP+βQ)T = αPT + βQT = αP + βQ (∵仮定より)    ∴ αP+βQ ∈ C

(ii) 半正定値性
P , Q ∈ C , α , β>0とすると、x∈ Rnに関して、
xT(αP+βQ) x = xT(αP)x +xT(βQ)x (∵分配則より)= α(xTPx) +β(xTQx)(∵定数倍)

ここで仮定xTPx ≧ 0、α>0より、α(xTPx) ≧ 0
同様にxTQx ≧ 0、β>0より、β(xTQx) ≧ 0
つまり、xT(αP+βQ) x = α(xTPx) +β(xTQx) ≧ 0 .    ∴ αP+βQ ∈ C
(i) , (ii) よりCが凸錐であることが示された□

II 閉集合である証明(省略)
定義から閉集合を示すのは面倒くさい。必要十分条件である
「C内の任意の収束点列に対して、その極限が再びCに含まれる」を利用して背理法で。

すいません。今日は完全な自己満足です。
スポンサーサイト
Secret

TrackBackURL
→http://misby2tetsuya.blog14.fc2.com/tb.php/141-66c7a767
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。